무리수로 일어난 살인 사건

지금으로부터 약 2500년 전, 피타고라스는‘만물은 수로 이루어져 있다’라고 말하며 이를 피타고라스학파의 슬로건으로 내세웠다. 피타고라스는 수를 이용해 논리적이고 체계적으로 세계를 설명하려고 했던 신비로운 인물이었다. 당시의 피타고라스학파는 수에 대한 맹목적 믿음으로 뭉친 추종자들의 종교 집단에 가까웠다. 이들은 세계가 정수와 분수로 이루어져 있다고 믿었는데 아이러니하게도 자신들의 이론인 피타고라스 정리에 의해 ‘무리수’가 발견된 것이다. 이들은 믿음이 깨어질 위기에 처하자 ‘무리수’를 발견한 학파의 일원을 죽이게 된다. 숫자로 인해 일어난 살인인 셈이다. 수의 완전성과 절대성을 믿는 이들에게는 ‘무리수’의 발견이 살인을 저지를 만한 ‘이유’가 되었던 것이다. 이렇듯 수는, 세계를 논리적으로 이해할 수 있는 통로가 될 수도 있지만 살인을 불사할 정도의 맹목적 집착 대상이 될 수도 있다. 도대체 수에는 어떤 불가사의한 힘이 있는 것일까.

다양한 수의 불가사의 성질 

이 책은 다양한 수의 불가사의한 성질을 다루고 설명한다. 수의 이야기는 아주 사소한 주제로 시작해도 무한으로 확장할 수 있다는 점에서 대단히 매력적이다.

일례로 이 책에서도 한 장을 차지하는 ‘소수’를 살펴보자. 소수는 ‘2 이상 자연수 가운데 약수가 1과 자기 자신밖에 없는 수’이다. 구체적으로 ‘2, 3, 5, 7, 11, …… ’과 같은 수를 말한다. 여기까지는 누구나 아는 이야기이다. 

그런데 이 소수에는 두 수의 차가 2인 소수 쌍이라는 ‘쌍둥이 소수’가 있다. (3, 5), (5, 7) 등이 그것이다. 그런데 소수가 무한하듯이 쌍둥이 소수 또한 무한할 것이라고 예상함에도 불구하고 아직까지 그 누구도 쌍둥이 소수가 무한하다는 증명에 성공하지 못했다. 쌍둥이 소수 문제는 수학사의 유명한 미해결 과제 중 하나이다. 

이 책의 저자인 곤노 노리오는 수에 대한 미해결 과제부터 수의 역사에 얽힌 신비로운 이야기까지, 학교 수학 수업에서는 결코 들을 수 없었던 수에 관한 다양한 이야기를 들려준다. 현실과 동떨어진 이론적 수의 세계가 아닌 우리가 현실에서 만날 수 있고, 생각해볼 수 있는 수에 관한 이야기를 주제별로 짧고 이해하기 쉽게 썼기 때문에 수학과 별로 친하지 않은 초보들에게도 거부감 없이 읽힌다.

수의 세계가 보여주는 숫자의 신비

책은 크게 8개의 장으로 나눠 수의 세계를 설명하고 있다. 각 장의 끝에는 해당 장의 주제와 관련한 짧은 칼럼을 붙여 저자의 또 다른 시각을 보여준다. 

저자는 수의 분류를 통해 자연수, 짝수와 홀수, 배수와 약수의 성격을 설명하고, 수의 세계에서 특별한 존재인 ‘0’의 탄생과 그 역할을 알아본다. 지금은 우리 곁에 너무나 자연스럽게 존재하는 ‘0’이 실은 자연수보다 늦게 태어났고, 세기의 시작이 1900년이나 2000년이 아닌 1901년이나 2001년일 수밖에 없는 이유도 이런 ‘0’의 늦은 탄생과 관련 있다는 사실은 흥미롭다. 그밖에도 소수, 약수, 도형수, 마방진, π(파이), 로그와 지수에 얽힌 이야기들도 저자의 표현대로 ‘밤하늘에 반짝이는 수많은 별들처럼’제 존재의 매력을 한껏 드러낸다.  

저자가 펼쳐 보이는 수의 세계는 필경 독자들에게도 숫자의 신비를 통해 세계를 이해하는 또 다른 비밀의 문을 열어줄 것이다.

수의 세계를 조감하다 

1 수를 분류하다

1-1 수의 탄생 

1-2 자연수와 집합 

1-3 음수

1-4 짝수와 홀수 

1-5 배수와 약수 

1-6 소수 

1-7 유리수 

1-8 무리수 

1-9 소수

1-10 실수 

Column 1 무리수를 암기하기 위한 언어유희

2 특별한 존재 ‘0’

2-1 0의 탄생 

2-2 0이 중요한 이유 

2-3 0은 어떻게 널리 퍼졌을까?

2-4 0 덕분에 간편해지다

2-5 서로 닮은 0과 공집합 

2-6 수직선과 평면좌표 

2-7 큰 수도 간단히, 0 

2-8 우리 일상의 0 

Column 2 ‘새로운 세기’의 시작은 약간 불완전하다? 

3 소수, 신기한 성질과 다양한 가설

3-1 소수 

3-2 소수는 무한히 존재한다 

3-3 소수를 나타내는 방법 

3-4 소수 쌍도 무한할까?

3-5 에라토스테네스의 체 

3-6‘소수를 생성하는 공식’은 없다 

3-7 메르센 수

3-8 메르센 소수는 무한할까? 

3-9 진심으로 소수를 사랑하는 사람들 

3-10 페르마 수

3-11 골드바흐의 추측 

3-12 특이한 소수들

Column 3 1로만 이루어진 소수 

4‘약수’로 본 여러 가지 수

4-1 부족수

4-2 과잉수

4-3 완전수 

4-4 완전수는 모두 짝수일까? 

4-5 친화수 

4-6 드디어 모습을 드러낸 친화수 

4-7 친화수와 관련된 추측들 

4-8 사교수

4-9 기묘수 

Column 4 아직 증명하지 못한 ‘3x + 1문제’

5 도형과 수가 손을 잡은 ‘도형수’

5-1 삼각수 

5-2 삼각수를 구하는 공식

5-3 조합과 삼각수 

5-4 사각수 또는 제곱수

5-5 오각수와 육각수 

5-6 페르마의 추측

5-7 사면체수

5-8 세제곱수

5-9 제곱수와 세제곱수 

5-10 제곱수는 세제곱수의 합 

5-11 웨어링 문제

Column 5 그리운 ‘데라야마 계산법’ 

6 놀랍도록 신기한‘마방진’

6-1 마방진 

6-2 마방진 상수 

6-3 낮은 차수 마방진은? 

6-4 신비한 4차 마방진 

6-5 대칭마방진 

6-6 홀수 마방진 만드는 법 

6-7 다양한 마방진

6-8 육각마방진 

Colum 6 마방진과 행성의 신비한 관계 

7 원주율의 역사

7-1 π (파이) 

7-2 원주율에 대한 최초의 기록 

7-3 π값의 근사 

7-4 5세기 동양의 π 연구 

7-5 수학사 최초의 ‘π를 유도하는 공식’ 

7-6 π 를 유도하는 다양한 공식

7-7 사람에서 컴퓨터의 시대로 

7-8 분수로 나타낼 수 없는 무리수 π 

7-9 원에 관한 다양한 공식

7-10 원적문제 

Column 7 온라인 정수열 사전 

8 번거로운 계산을 간단하게 만드는‘로그’와 ‘지수’

8-1 로그 

8-2 등비수열 

8-3 지수의 합 

8-4 지수의 차 

8-5 지수법칙 

8-6 네이피어의 아이디어 

8-7 실용적이지 않다

8-8 0.9999999 

8-9 오늘날 로그

8-10 자연로그의 밑 ‘e’ ① 

8-11 자연로그의 밑 ‘e’ ② 

8-12 자연로그의 밑 ‘e’ ③ 

8-13 미분적분과 밀접한 ‘e’ 

Column 8 샤를 에르미트의 한