고등적인’ 관점으로 바라보는 ‘기초’ 수학

수학의 역사에서 특히 인상적인 점은 수학자들이 한 시점에서 과거를 돌아보며 수학이라는 학문 자체의 목적과 방법, 한계와 지평에 대해 ‘수학의 언어’로 사유해왔다는 점이다. 저자 존 스틸웰은 20세기까지의 눈부신 수학적 발전에 안주하지 않고 현대 수학의 위치를 다시 설정한다.

『기초 수학: 새롭게 다시 읽다』는 산술, 대수, 기하, 미분적분, 확률, 논리 등의 기본 원리를 살펴보고 역사적이고 철학적인 논의를 통해 서로 다른 주제들 사이에 발견되지 않았거나 숨겨져 있던 관계들을 찾아나간다. 

이 책은 기본적인 수학 개념을 익히고자 하는 학생과 그 개념을 설명해야 하는 교수자, 즉 모든 수학자에게 흥미로운 책이다. 새로운 관점을 통해 수학의 스펙트럼을 폭넓게 확장하고 기초 수학과 고등 수학의 경계를 깊이 탐구할 수 있다.

그 경계 너머의 수학을 엿보며 현대 수학을 조망하는 멋진 경험을 이 책과 함께하길 바란다.

현대의 관점으로 다시 쓰는 유클리드의 『원론』

유클리드의 『원론』은 기초적인 내용을 분류하고 어떤 관점과 방법으로 수학적 대상들에 접근해야 하는지 제시해왔다. 수학사에서 2천 년 이상 영향을 미쳐온 이 고전은 오랜 전통이자 동시에 극복의 대상이기도 했다.

오늘날 기초 수학의 범주에 속하는 주제들이 언제나 ‘기초적’이라 여겨졌던 것은 아니며 그 주제들이 ‘기초’가 된 데에는 위대한 수학적 발견과 발전이 있었다. 기초 수학을 새로이 논의하기 위해서는 21세기 관점에서의 기초 주제들이 추가되어야 하고 ‘기초’라는 의미에 대해 보다 명확한 설명이 필요할 것이다.

이 책은 새로운 관점으로 수학의 스펙트럼을 폭넓게 확장하고 기초 수학과 고등 수학의 경계를 깊이 탐구한다. 수천 년에 걸쳐 수학자들이 수학의 기초를 어떻게 구축해왔는지, ‘기초적’이라는 개념이 수학사에서 어떻게 변화해왔는지 살펴보고, 역사적이고 철학적인 논의를 통해 서로 다른 주제들 사이에 발견되지 않았거나 숨겨져 있던 관계들을 찾아나간다.

“수학사의 빈틈을 메우고 새로운 지평을 연 책!”

— George Hacken, Computing Reviews

“이 책의 명료하고 간결한 문장들은 기초로부터 더 심층적이고 도전적인 생각으로 우리를 이끈다. 수학자들의 서가에 빼어난 기본을 더하는 책이다.”

— Math Tango

“존 스틸웰의 폭넓고 체계적인 ‘수학구사력’은 독자들로 하여금 더 높은 차원을 이해하고 그 너머로 질의할 수 있도록 한다. 우리는 이 책을 통해 이미 충분하게 알고 있는 수학에 대해 다시 생각해볼 수 있다.”

— Frank Swetz, The Pennsylvania State University

번역자의 말

서문

1장  기초 주제

1.1 산술

1.2 계산

1.3 대수

1.4 기하학

1.5 미적분학

1.6 조합론

1.7 확률

1.8 논리학

1.9 역사

1.10 철학

2장  산술

2.1 유클리드 알고리즘

2.2 연분수

2.3 소수

2.4 유한 산술

2.5 이차 정수

2.6 가우스 정수

2.7 오일러의 증명 되돌아보기

2.8 √2와 펠 방정식

2.9 역사

2.10 철학

3장  계산

3.1 숫자 표기법

3.2 덧셈

3.3 곱셈

3.4 나눗셈

3.5 거듭제곱

3.6 P-NP 문제

3.7 튜링 기계

3.8 해결불가능한 문제

3.9 범용 기계

3.10 역사

3.11 철학

4장  대수

4.1 고전 대수

4.2 환

4.3 체

4.4 역수와 연관된 두 정리

4.5 벡터 공간

4.6 일차 종속, 기저, 차원

4.7 다항식 환

4.8 대수적 수 체

4.9 벡터 공간으로서의 수 체

4.10 역사

4.11 철학

5장  기하

5.1 수와 기하학

5.2 각에 대한 유클리드의 이론

5.3 넓이에 대한 유클리드의 이론

5.4 눈금 없는 자와 컴퍼스를 이용한 작도

5.5 연산의 기하적 실현

5.6 작도의 대수적 실현

5.7 벡터 공간의 기하

5.8 내적을 이용하여 길이 정의하기

5.9 작도가능한 수의 체

5.10 역사

5.11 철학

6장  미적분

6.1 기하급수

6.2 접선과 미분

6.3 도함수 구하기

6.4 곡선으로 제한된 영역의 넓이

6.5 ????=???????? 아래의 넓이

6.6 미적분학의 기본정리

6.7 로그함수를 거듭제곱급수로 표현하기

6.8 탄젠트함수의 역함수와 π

6.9 초등함수

6.10 역사

6.11 철학

7장  조합론

7.1 소수의 무한성

7.2 이항 계수와 페르마의 소정리

7.3 생성 함수

7.4 그래프 이론

7.5 트리

7.6 평면 그래프

7.7 오일러의 다면체 정리

7.8 비평면 그래프

7.9 쾨니히 무한 보조정리

7.10 슈페르너의 보조정리

7.11 역사

7.12 철학

8장  확률

8.1 확률과 조합

8.2 도박사의 파산

8.3 무작위 걷기

8.4 평균, 분산과 표준편차

8.5 벨 곡선

8.6 역사

8.7 철학

9장  논리

9.1 명제 논리

9.2 동어반복, 항등식, 해의 존재성

9.3 속성, 관계, 양화사

9.4 귀납법

9.5 페아노 산술

9.6 실수

9.7 무한

9.8 집합론

9.9 역수학

9.10 역사

9.11 철학

10장  고등 수학의 몇 가지 주제들

10.1 산술: 펠 방정식

10.2 계산: 낱말 문제

10.3 대수: 기본 정리

10.4 기하: 사영 직선

10.5 미적분학: π의 월리스 곱

10.6 조합론: 램지 이론

10.7 확률: 드 무아브르 분포

10.8 논리: 완전성 정리

10.9 역사와 철학

참고문헌

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